粒度分布數(shù)據(jù)可以通過(guò)數(shù)值（表格形式）或圖形形式呈現(xiàn)。當(dāng)以圖形方式呈現(xiàn)時(shí)，有兩種類型：微分分布和累積分布。兩者密切相關(guān)——對(duì)累積分布曲線求導(dǎo)，就可以得到微分分布；對(duì)微分分布曲線進(jìn)行積分，就能得到累積分布。
微分分布
微分分布顯示了每個(gè)粒度下的相對(duì)含量。以圖示曲線為例：借助直尺繪制水平線與垂直線，可以確定在 14.5 納米處微分分布值約為 40，而在 18 納米處對(duì)應(yīng)值約為 20。由此可知，14.5 納米處的含量是 18 納米處的兩倍。
集中趨勢(shì)的度量（如眾數(shù)直徑和平均直徑）是從微分分布中確定的。眾數(shù)直徑對(duì)應(yīng)微分分布峰值處的直徑，在此示例中，眾數(shù)直徑為 8.5 納米。平均直徑是直徑的平均值，在此示例中，平均直徑為 10.7 納米。
該分布為單峰（單一峰值）分布，但并非單分散（所有顆粒粒徑相同），它具有一定的寬度。與集中趨勢(shì)的度量類似，寬度的度量也有多種。其中一種寬度的度量方式為半峰寬（FWHM），它通過(guò)在峰值的 50% 處繪制一條水平線，并取該線與分布曲線相交的兩個(gè)點(diǎn)之間的差值來(lái)確定。在此示例中，F(xiàn)WHM 為 8.4 納米。
HWHM（半峰半寬）是寬度的另一種度量方式，它被定義為 FWHM 的一半。在此示例中，HWHM 為 4.2 納米。
FWHM 和 HWHM 是絕對(duì)寬度的度量方式，通過(guò)將 FWHM 或 HWHM 除以對(duì)應(yīng)的集中趨勢(shì)度量（眾數(shù)直徑）可以得到寬度的相對(duì)分?jǐn)?shù)度量。在此示例中，HWHM/眾數(shù)直徑為 4.2/8.5 = 0.49，因此，寬度的相對(duì)百分比度量為 49%。這兩種相對(duì)寬度度量都沒(méi)有單位。
鑒于微分粒度分布類似于對(duì)任何量進(jìn)行重復(fù)測(cè)量得到的分布，概率分布的數(shù)學(xué)概念（如平均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等）貫穿于粒度分布的描述中也就不足為奇了。然而需要強(qiáng)調(diào)的是，方差和標(biāo)準(zhǔn)差在該情況下并不對(duì)應(yīng)測(cè)量誤差或不確定性——盡管粒度分布測(cè)量本身確實(shí)存在不確定性。當(dāng)用該分布的標(biāo)準(zhǔn)差表示微分粒度分布的寬度時(shí)，其本質(zhì)是對(duì)粒徑分布范圍的一種數(shù)學(xué)表征，而非對(duì)測(cè)量誤差的量化說(shuō)明。事實(shí)上，若對(duì)粒度分布進(jìn)行重復(fù)測(cè)量，人們甚至可以計(jì)算出該分布標(biāo)準(zhǔn)差（表征分布寬度的參數(shù)）自身的標(biāo)準(zhǔn)差（此時(shí)則反映該寬度參數(shù)的測(cè)量誤差）。為了保持圖形的可讀性，上述微分分布中未顯示標(biāo)準(zhǔn)差。如果顯示，則可以定義絕對(duì)和相對(duì)（分?jǐn)?shù)和百分比）標(biāo)準(zhǔn)差（除以平均直徑）。
此處所示的微分分布關(guān)于眾數(shù)直徑并不對(duì)稱。若對(duì)稱且直徑軸采用線性坐標(biāo)，則眾數(shù)直徑、平均直徑與中位直徑（基于累積分布定義）將全部相等。但此例并非如此，該分布向較大尺寸方向傾斜。偏斜有多種定義，均源自概率分布。無(wú)論采用何種定義，當(dāng)曲線向右拖尾多于向左拖尾時(shí)，偏斜為正；當(dāng)曲線向左拖尾多于向右拖尾時(shí)，偏斜為負(fù)。拖尾的參考點(diǎn)基于眾數(shù)直徑。對(duì)稱的微分分布偏斜為零。
累積分布
對(duì)應(yīng)的累積分布如上圖。累積粒度分布（undersize distribution）呈現(xiàn)了特定粒徑及以下的相對(duì)含量 * 。在此示例中，50% 的顆粒粒徑≤ 9.5 nm，90% 的顆粒粒徑≤ 16.2 nm。這只是眾多百分位直徑中的兩個(gè)示例值。
中位徑是另一種集中趨勢(shì)的度量，它對(duì)應(yīng)第 50 百分位數(shù)處的直徑，記為 d50四分位數(shù)直徑包括 d75，d50，和 d25。
通過(guò)累積分布可推導(dǎo)出多種絕對(duì)寬度的度量。它對(duì)應(yīng)第 50 百分位數(shù)處的直徑，記為 d90–d10。在此示例中跨度為 10.7 納米。一種無(wú)量綱的寬度度量是相對(duì)跨度，定義為跨度/d50。在此示例中相對(duì)跨度為 1.13。其他相對(duì)寬度的度量包括百分位數(shù)比率，如d90/d10和d75/d25。在此示例中，這些值分別為 2.95 和 1.77。
分布越窄，其絕對(duì)寬度度量（包括 FWHM、 HWHM、方差、標(biāo)準(zhǔn)差及跨度等）的數(shù)值越趨近于零；而大多數(shù)相對(duì)寬度的度量（如d90/d10和d75/d25）則接近1。
哪種分布是最佳的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)方式？
| 集中趨勢(shì)的度量 | 由哪種分布類型確定？ |
|---|---|
| 眾數(shù) | 微分分布 |
| 平均值 | 微分分布 |
| 中位數(shù), d50 | 累積分布 |
| 絕對(duì)分布寬度 | 由哪種分布類型確定？ |
| 半峰寬 | 微分分布 |
| 半峰半寬 | 微分分布 |
| 標(biāo)準(zhǔn)差 | 微分分布 |
| 跨度, （d90-d10） | 累積分布 |
| 相對(duì)分布寬度 | 由哪種分布類型決定？ |
| 半峰寬/眾數(shù) | 微分分布 |
| 半峰半寬/眾數(shù) | 微分分布 |
| 標(biāo)準(zhǔn)差/平均值 | 微分分布 |
| 四分位數(shù)比率d75/d25 | 累積分布 |
| d90/d10 | 累積分布 |
| (d90-d10)/d50 | 累積分布 |
這取決于所在領(lǐng)域的慣例。例如，很久以前，輪胎制造商就將輪胎胎面和胎壁的相對(duì)強(qiáng)度與四分位數(shù)比率d75/d25相關(guān)聯(lián)。因此，該領(lǐng)域中使用從累積分布中得出的這種相對(duì)寬度來(lái)表示分布寬度。
若您的研究領(lǐng)域尚屬開創(chuàng)性階段且無(wú)既定標(biāo)準(zhǔn)，那么您就有絕佳的機(jī)會(huì)來(lái)定義哪種統(tǒng)計(jì)方法最有效。例如，您需要將平均值控制在（5 +/-1）微米，且 95% 的顆粒粒徑 ≤ 20 微米（即d95 ≤ 20 微米），則需同時(shí)呈現(xiàn)微分分布（平均值）及累積分布（d95）。
盡管本文案例均基于連續(xù)分布體系，但我們將在下一篇文章中探討離散分布。不過(guò)，既然我們正在討論如何以最佳方式呈現(xiàn)數(shù)據(jù)，那么離散累積分布中有限數(shù)量粒徑級(jí)別的示例就頗具相關(guān)性。
以篩網(wǎng)為例，2 的四次方根 1.189 是相鄰篩孔尺寸的比率。在這種情況下，從累積分布中得出的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可能是有用的，但嘗試進(jìn)行數(shù)值微分卻十分困難，這會(huì)導(dǎo)致從微分分布中得出的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)存在較大誤差。在這種情況下，應(yīng)堅(jiān)持使用從累積分布中得出的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：中位數(shù)、跨度和百分位數(shù)比率。
* 數(shù)據(jù)可通過(guò)數(shù)量加權(quán)、表面積加權(quán)、體積加權(quán)、重量加權(quán)和光強(qiáng)加權(quán)得到。不同“加權(quán)”方式得到的分布會(huì)相互偏移。